Definisi

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan pada permasalahan yang berhubungan dengan jarak. Misalnya kita ingin menghitung jarak antara kota yang satu dengan kota yang lainnya, atau jarak antara rumah Anda dengan rumah teman Anda. Dalam kaitannya dengan pengukuran jarak antara dua tempat ini, timbullah suatu keistimewaan, yaitu bahwa jarak ini nilainya selalu positif (tidak pernah negatif). Dalam matematika, untuk memberikan jaminan bahwa sesuatu itu nilainya selalu positif diberikanlah suatu pengertian yang disebut nilai mutlak. Bagaimanakah konsep nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan? Serta bagaimana menerapkan konsep nilai mutlak ini dalam memecahkan masalah kehidupan nyata? Pertanyaan-pertanyaan di atas dapat Anda jawab setelah mempelajari bab ini. 

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak 

Konsep Nilai Mutlak Pada konsep bilangan bulat, Anda mengenal letak benda di bawah permukaan laut dinyatakan dengan bilangan bulat negatif, misal letak penyelam dan letak kapal selam. Dengan memperhatikan garis bilangan vertikal gambar di bawah ini, jawablah pertanyaan berikut. a. Berapa jarak burung dari kapal nelayan ? b. Berapa jarak penyelam dari kapal nelayan ? c. Berapa jarak kapal selam dari kapal nelayan ? d. Berapa jarak kapal selam dari burung ? 

A. Konsep Nilai Mutlak Suatu Bilangan 

Nilai mutlak bilangan x, dinotasikan dengan |x|, didefinisikan sebagai berikut. |x| = jarak x dari titik nol pada garis bilangan Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan atau bisa ditulis | x | = -x jika x ≥ 0 | x | = -x jika x < 0 Jarak -5 dari 0 adalah 5 sehingga |-5| = 5. Jarak 5 dari 0 adalah 5 sehingga |5| = 5 

Definisi diatas bisa di maknai sebagai berikut : Nilai mutlak bilangan positif ataupun nol ialah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif yaitu lawan dari bilangan tersebut. Contohnya: | 9 | = 9 , | 0 | = 0, | -7 | = -(-7) = 7 Maka, jelas bahwasanya nilai mutlak tiap bilangan real akan selalu memiliki nilai positif atau nol. 

B. Fungsi Nilai Mutlak 

Fungsi nilai mutlak adalah fungsi yang variabelnya di dalam tanda mutlak. 

Contoh: Fungsi nilai mutlak f(x) = | x | 

Persamaan Linear Nilai Mutlak 

A. Bentuk Umum Persamaan Linear Nilai Mutlak 

Untuk f(x) dan g(x) fungsi dalam variabel x |f (x)| = c dengan syarat c ≥ 0 |f (x)| = |g (x)| |f (x)| = |g (x)| dengan syarat |g (x)| ≥ 0 

B. Penyelesaian persamaan Linear Nilai Mutlak 

Persamaan Nilai Mutlak yaitu suatu nilai mutlak dari sebuah bilangan yang dapat didefinisikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya. 

Contoh 1 Tentukanlah himpunan penyelesaian |2x – 7| = 3 Jawaban : |2x – 7| = 3 ( 2x – 7 = 3 ataupun 2x – 7 = -3) |2x – 7| = 3 ( 2x = 10 ataupun 2x = 4) |2x – 7| = 3 ( x = 5 ataupun x = 2) Maka, HP = {2, 5} 

Contoh 2 Tentukanlah HP |2x – 1| = |x + 4| Jawaban : |2x – 1| = |x + 4| 2x – 1 = x + 4 ataupun 2x – 1 = -(x + 4) x = 5 ataupun 3x = -3 x = 5 ataupun x = -1 Maka, HP = (-1, 5) 

Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak 

Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan jenis pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak. Misalkan |x| adalah nilai mutlak x dan a suatu bilangan real. a. Jika |x| ≤ a maka –a ≤ f(x) ≤ a b. Jika |x| ≥ a maka x ≤ –a atau ≥ a 

Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| < 7 Jawab : |2x - 1| < 7 ⇔ -7 < 2x - 1 < 7 |2x - 1| < 7 ⇔ -6 < 2x < 8 |2x - 1| < 7 ⇔ -3 < x < 4 Jadi, HP = {-3 < x < 4}. 

Contoh 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6 Jawab : Berdasarkan sifat c : |4x + 2| ≥ 6 ⇔ 4x + 2 ≤ -6 atau 4x + 2 ≥ 6 |4x + 2| ≥ 6 ⇔ 4x ≤ -8 atau 4x ≥ 4 |4x + 2| ≥ 6 ⇔ x ≤ -2 atau x ≥ 1 Jadi, HP = {x ≤ -2 atau x ≥ 1}. 

Contoh 3 Tentukan penyelesaian dari |3x - 2| ≥ |2x + 7| Jawab : |3x - 2| ≥ |2x + 7| ⇔ 3x - 2 ≤ -(2x + 7) atau 3x - 2 ≥ 2x + 7 ⇔ 5x ≤ -5 atau x ≥ 9 ⇔ x ≤ -1 atau x ≥ 9 Jadi, HP = {x ≤ -1 atau x ≥ 9} 

Pemecahan Masalah Persamaan dan Pertidaksamaan Konsep Linear Nilai Mutlak 

Dalam kehidupan sehari-hari terdapat beberapa masalah yang berkaitan dengan konsep nilai mutlak. Contoh Pada mobil-mobil baru, angka kilometer per liternya tergantung pada bagaimana mobil itu digunakan, apakah sering digunakan untuk perjalanan jarak jauh ataukah hanya untuk perjalanan jarak dekat (dalam kota). Untuk suatu merek mobil tertentu, angka kilometer per liternya berkisar di angka 2,8 kurang atau lebihnya dari 12 km/L. Berapakah jangkauan dari angka km/L dari mobil tersebut?
Jawab
Diketahui angka km/L dari suatu mobil berkisar di angka 2,8 kurang atau lebihnya dari 12 km/L. Misalkan m adalah angka km/L dari mobil tersebut. Maka, selisih m dan 12 tidak boleh lebih dari 2,8 atau dapat dituliskan ke dalam |m – 12| ≤ 2,8.